Дан треугольник \(ABC\), вписанная в него в него окружность \(\omega\), касающаяся \(BC\) в точке \(A_0\), и вневписанная окружность \(\Gamma\), касающаяся стороны \(BC\) в точке \(Q\). Точка \(F\) диаметрально противоположна точке \(A_0\). Тогда точки \(A\), \(F\) и \(Q\) лежат на одной прямой.
Факт 1
Факт 1
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Сделайте гомотетию с центром в точке \(A\), переводящую \(\omega\) в \(\Gamma\).
Доказательство
Доказательство
Пусть \(\ell\) — касательная к \(\omega\) в точке \(F\). Сразу отметим, что \(\ell\) параллельна \(BC\), так как \(A_0F\) — диаметр.
Сделаем гомотетию с центром в точке \(A\), переводящую \(\omega\) в \(\Gamma\). Тогда \(\ell\) перейдёт в \(BC\), потому что \(\ell\) должна перейти в касательную к \(\Gamma\), параллельную \(\ell\) и ближнюю к точке \(A\), то есть в \(BC\). При этом точка касания \(\omega\) и \(\ell\) перейдёт в точку касания их образов, то есть в точку касания \(BC\) и \(\Gamma\). То есть данная гомотетия переводит \(F\) в \(Q\), откуда и следует нужное нам утверждение.