Для того, чтобы точка \(M\) принадлежала прямой, содержащей медиану \(AA_1\) треугольника \(ABC\), необходимо и достаточно, чтобы треугольники \(AMB\) и \(AMC\) были равновелики и противоположно ориентированы.
Факт 3
Факт 3
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Необходимость очевидна. При доказательстве достаточности воспользуйтесь (и докажите!) равенством прямоугольных треугольников \(CC_hM_1\) и \(BB_hM_1\), где \(C_h\) и \(B_h\) — проекции точек \(B\) и \(C\) на \(AA_1\)
Доказательство
Доказательство
Необходимость
Необходимость
Пусть \(M \in AA_1\), \(C_h\) и \(B_h\) — проекции точек \(B\) и \(C\) на \(AA_1\). Заметим, что \(CC_h = BB_h\), так как \(S_{BAA_1} = S_{CAA_1}\) и \(AA_1\) — общая сторона. Следовательно, \(S_{AMB} = S_{AMC}\), поскольку у них общая сторона \(AM\). Кроме того, они противоположно ориентированы, что и требовалось.
Достаточность
Достаточность
Рассмотрим сперва случай, когда \(AM \parallel BC\). В таком случае треугольники \(AMB\) и \(AMC\) равновелики, однако они ориентирваны одинаково, что противоречит условию. Значит, прямая \(AM\) пересекает прямую \(BC\) в некоторой точке \(M_1\). Пусть снова \(C_h\) и \(B_h\) — проекции точек \(B\) и \(C\) на \(AA_1\). Так как \(S_{AMB} = S_{AMC}\), то \(CC_h = BB_h\). Тогда из равенства прямоугольных треугольников \(CC_hM_1\) и \(BB_hM_1\) (по катету и острому углу) следует, что \(CM_1 = BM_1\). А это означает, что \(M_1 = A_1\), или иначе \(M \in AA_1\). Кроме того, треугольники \(AMB\) и \(AMC\) противоположно ориентированы, что и требовалось.