Воспользуйтесь фактом 2.

Обозначим через \(A_1\) и \(C_1\) точки касания \(BD\) с окружностями \(\alpha\) и \(\gamma\) соответственно. Пусть точки \(A_2\) и \(C_2\) диаметрально противоположны точкам \(A_1\) и \(C_1\) соответственно. Пусть прямые \(a'\) и \(c'\) — касательные к \(\Omega\) в точках \(A'\) и \(C'\) и ближние к окружностям \(\alpha\) и \(\gamma\) соответственно, причем \(a' \parallel c' \parallel BD\). Определим \(c_2\) и \(a_2\), как касательные к \(\gamma\) и \(\alpha\) в точках \(C_2\) и \(A_2\) соответственно. За \(R\), \(R_{\alpha}\), \(R_{\gamma}\) обозначим радиусы окружностей \(\Omega\), \(\alpha\) и \(\gamma\) соответственно.

Пусть \(k_{\alpha} = \dfrac{R}{R_{\alpha}}\), \(k_{\gamma} = \dfrac{R}{R_{\gamma}}\). Тогда \(H_{A}^{k_{\alpha}}(\alpha) = \Omega\), причём \(H_{A}^{k_{\alpha}}(a_2) = a'\), так как \(a \parallel a_2\) и \(a\), \(a_2\) касательные. Следовательно, \(H_{A}^{k_{\alpha}}(A_2) = A'\). Аналогично: \(H_{C}^{ k_{\gamma}}(C_2) = C'\). Тогда по теореме о композиции гомотетий получаем, что \(H_{A}^{k_{\alpha}} \circ H_{C}^{k_{\gamma}} = H_{Q}^{k_Q}\), где \(Q\) — некоторая точка на прямой \(AC\), а \(k_Q = k_{\alpha} k_{\gamma}\). Отметим, что \(k_Q = k_{\alpha} k_{\gamma} = \dfrac{R^2}{R_{\alpha} R_{\gamma}} < 1\), так как \(R > R_{\alpha}\) и \(R > R_{\gamma}\). То есть \(k_Q \neq 1\), а значит \(H_{Q}^{k_Q}\) именно гомотетия.