Гомотетия

Гомотетией с центром \(A\) и коэффициентом \(k\) называют преобразование подобия, переводящее произвольную точку плоскости \(M\) в точку \(M'\), такую что

\[ \overrightarrow{OM'} = k \overrightarrow{OM} \]

Гомотетию с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k\) часто обозначают через \(H_O^k \, \).

Свойства

Гомотетия действительно является преобразованием подобия. То есть для любых двух точек плоскости \(A\) и \(B\) и их образов \(A'\) и \(B'\) соответственно выполнено равенство \(|AB| = k|A'B'|\), где \(k\) — коэффициент гомотетии.
При гомотетии прямая переходит в параллельную ей прямую, либо совпадающую.
Следствие: гомотетия сохраняет углы.

2.1) Касательная к окружности переходит в касательную к её образу.

2.2) Образы касательных окружностей касаются.
Гомотетия переводит окружность в окружность, причём либо общие внутренние касательные, либо общие внешние касательные проходят через центр гомотетии.
Любые две непересекающиеся окружности имеют два центра гомотетии, каждый из которых переводит одну в другую. Одним из них будет точка пересечения общих внешних касательных, а вторым — точка пересечения общих внутренних касательных. Если же окружности равны, то будем считать, что один из центров является бесконечно удаленной точкой.