Пусть дан треугольник \(ABC\), описанная около него окружность \(\Omega\) с центром \(O\) и радиусом \(R\), вписанная в него окружность \(\omega\) с центром \(I\) и радиусом \(r\). Тогда \({IO}^2 = R^2 - 2Rr\). (формула Эйлера)
Факт 8
Факт 8
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Проведите \(IO\) до пересечения с окружностью \(\Omega\), вспомните теорему о хордах и попробуйте воспользоваться леммой о трелистнике( трезубце).
Доказательство
Доказательство
Пусть \(AI \cap \Omega = L\), \(IO \cap \Omega = \{M, N \}\). Тогда \(MI \cdot NI\) \(=\) \(AI \cdot IL\) \(\Leftrightarrow\) \((R-IO)\)\((R+IO)\) \(=\) \(AI \cdot LI \quad \big(1\big)\).
Пусть \(\angle CAB\) \(=\) \(2\alpha\) (то есть \(\angle IAB\) \(=\) \(\angle IAC\) \(=\) \(\alpha\)). По теореме синусов \(LB\) \(=\) \(2R\) \(\cdot\) \(\sin \alpha \). По лемме о трилистнике \(LI\) \(=\) \(LC\) \(=\) \(2R\) \(\cdot\) \(\sin \alpha\). Мы также знаем, что \(\sin \alpha\) \(=\) \(\dfrac{r}{AI}\). Подставляя всё это в \(\big(1\big)\), получаем, что \(R^2 - {IO}^2\) \(=\) \((R-IO)\)\((R+IO)\) \(=\) \(AI \cdot LI\) \(=\) \(AI \cdot 2R\) \(\cdot\) \(\sin \alpha\) \(=\) \(AI \cdot 2R\) \(\cdot\) \(\dfrac{r}{AI}\) \(=\) \(2rR\) \(\Leftrightarrow\) \({IO}^2\) \(=\) \(R^2\) \(-\) \(2Rr\), что и требовалось.