Прямая Гаусса четырехугольника \(ABCD\), описанного около некоторой окружности, содержит её центр. (Теорема Ньютона)
Факт 5
Факт 5
Примечание. Прямой Гаусса четырехугольника \(ABCD\) называют прямую, содержащую середины его диагоналей. Иногда эту прямую называют ещё прямой Ньютона
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Доказательство
Доказательство
Пусть четырехугольник \(ABCD\) описан около окружности с центром \(O\), точки \(M\) и \(N\) — середины диагоналей \(AC\) и \(BD\). Тогда \(MN\) — медиана треугольника \(MBD\). Согласно факту 3 для того, чтобы точка \(O\) принадлежала прямой \(MN\) , необходимо и достаточно, чтобы треугольники \(OBM\) и \(ODM\) были равновелики. Докажем это. Имеем:
\(\qquad S_{ABO}\) \(+\) \(S_{CDO}\) \(=\) \((AB + CD)r\),
\(\qquad S_{BCO}\) \(+\) \(S_{ADO}\) \(=\) \((BC + AD)r\),
где \(r\) — радиус окружности. По необходимому условию описанного
четырехугольника \(AB + CD\) \(=\) \(BC + AD\). Следовательно,
\[ S_{ABO} + S_{CDO} = S_{BCO} + S_{ADO} = S_{ABCD} . \qquad (7.1) \]
Так как \(S_{ABM} = S_{BCM}\) и \(S_{ADM} = S_{CDM}\), то
\[ S_{ABM} + S_{CDM} = S_{BCM} + S_{ADM} = S_{ABCD} . \qquad (7.2) \]
Вычтем из равенства (7.1) равенство (7.2):
\[ S_{ABO} − S_{ ABM} = S_{CDM} − S_{CDO}, \]
что эквивалентно \(S_{MAO} + S_{MBO}\) \(=\) \(S_{MCO} + S_{MDO}\) . Но поскольку \(S_{MAO} = S_{MCO}\), то из последнего равенства следует \(S_{MBO} = S_{MDO}\), чем и заканчивается доказательство.