Постройте перепендикуляры к \(AB\) и \(BC\) в точках \(A\) и \(C\) соответственно. Пусть они пересекают прямые \(BC\) и \(AB\) в точках \(A_1\) и \(C_1\) соответственно. Рассмотрите треугольник \(BA_1C_1\). Чем в нём может быть \(BP \: ?\)

Пусть \(p_a\) и \(p_c\) — перепендикуляры к \(AB\) и \(BC\) в точках \(A\) и \(C\) соответственно. Пусть также \(C_1\) \(=\) \(p_c \cap AB\), \(A_1\) \(=\) \(p_a \cap BC\). Рассмотрим треугольник \(BA_1C_1\). Сразу заметим, что прямые \(AC\) и \(A_1B_1\) антипараллельны относительно прямых \(AB\) и \(BC\), так как в треугольнике \(BA_1C_1\) точки \(A\) и \(C\) являются основаниями высот. Таким образом, если мы докажем, что \(P\) — середина \(C_1A_1\), то мы докажем, что \(BP\) — симедиана треугольника \(ABC\) (см. теорию), что и требуется. Для этого нам достаточно доказать, что каждая из касательных \(a\) и \(c\) проходит через середину \(C_1A_1\). Докажем для одной одной из них, что это так, а для второй рассуждения будут аналогичны.

Докажем, что касательная \(c\) проходит через середину \(A_1C_1\). Пусть \(c \cap A_1C_1\) \(=\) \(C_p\). По теореме об угле между касательной и хордой имеем: \(\angle C_pCC_1\) \(=\) \(\angle A_1AC\). Так как четырёхугольник \(ACA_1C_1\) вписанный, то \(\angle A_1AC\) \(=\) \(\angle CC_1A_1\). Таким образом, \(\angle C_pCC_1\) \(=\) \(\angle A_1AC\) \(=\) \(\angle CC_1A_1\) \(=\) \(\angle CC_1C_p\), то есть треугольник \(CC_pC_1\) равнобедренный. Но ведь \(\angle C_1CA_1 = {90}^{\circ}\). А значит \(C_p\) — середина \(C_1A_1\).

Аналогично доказывается, что и \(a\) проходит через середину \(A_1C_1\). Таким образом, мы доказали, что \(a \cap c\) \(=\) \(P\) \(=\) \(C_p\), то есть \(P\) — середина \(C_1A_1\). В силу вышеописанных соображений доказательство закончено.