\(ABCD\) — описанный четырёхугольник около окружности \(\Omega\). Пусть \(\alpha\) и \(\gamma\) вписанные окружности треугольников \(ADB\) и \(CDB\) соответственно. Тогда \(\alpha\) и \(\gamma\) касаются \(BD\) в одной точке.
Факт 2
Факт 2
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Доказательство
Доказательство
Обозначим через \(A_1\) и \(C_1\) точки касания \(BD\) с окружностями \(\alpha\) и \(\gamma\) соответственно. Обозначим длины отрезков \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\), \(DB\) за \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(f\) соответственно. Тогда \[ DA_1 = \frac{f + d - a}{2}, \qquad DA_2 = \frac{f + c - b}{2} \]
Но в таком случае \(DA_1 - DA_2\) \(=\) \(\frac{d + b - a - c}{2}\) \(=\) \(0\), так как \(a+c\) \(=\) \(b+d\) в силу того, что четырёхугольник \(ABCD\) является описанным. А стало быть \(A_1 = A_2\), это и означает, что окружности \(\alpha\) и \(\gamma\) касаются \(BD\) в одной точке.