Введём стандартные обозначения для данного треугольника \(ABC\): \(\: \Omega\) — окружность, описанная около треугольника \(ABC\), \(I\) — центр вписанной окружности, \(I_A\) — центр вневписанной окружности напротив вершины \(A\). Пусть \(AI \cap\) \(\Omega =\) \(L\). Тогда \(IL =\) \(LB =\) \(LC =\) \(LI_A\). (Лемма о трезубце)
Факт 6
Факт 6
Примечание. Частный случай, когда указывают только равенства \(IL =\) \(LB =\) \(LC\), называют также леммой о трилистнике.
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Так как \(AL\) — биссектриса угла \(A\), то \(LB =\) \(LC\) (равные дуги стягивают равные хорды). Попробуйте доказать равнобедренность треугольника \(IBL\), а затем посмотрите на треугольник \(ICI_A\).
Доказательство
Доказательство
Пусть угол \(\angle BAC = 2 \alpha\), \(\angle ABC = 2 \beta\). Тогда \(\angle BIL =\) \(\alpha +\) \(\beta\) \(\big(\) как внешний к треугольнику \(IBA\)\(\big)\). С другой стороны, \(\angle IBL =\) \(\angle IBC +\) \(\angle CBL =\) \(\angle IBC +\) \(\angle CAL =\) \(\beta + \alpha\). Следовательно, треугольник \(BIL\) — равнобедренный, причем \(BL = IL\). Итак, мы имеем \(CL =\) \(BL =\) \(IL\). Осталось заметить, что треугольник \(ICI_A\) — прямоугольный (угол между биссектрисами смежных углов), причём \(IL =\) \(LC\), из чего и следует оставшееся равенство: \(IL =\) \(LB =\) \(LC =\) \(LI_A\).