Пусть дан треугольник \(ABC\), \(H\) — его ортоцентр, \(O\) — центр описанной окружности, \(M\) — точка пересечения медиан. Тогда точки \(O\), \(M\) и \(H\) лежат на одной прямой, причём \(2OM = MH\).
Факт 10
Факт 10
Примечание. Эту прямую называют прямой Эйлера. Как было доказано в предыдущем факте, прямая Эйлера содержит центр окружности Эйлера.
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Воспользуйтесь тем, что \(O\) — ортоцентр серединного треугольника \(ABC\) (треугольника, вершинами которого являются середины сторон треугольника \(ABC\)).
Доказательство
Доказательство
Пусть \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) — середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) треугольника \(ABC\) соответственно. Заметим, что \(O\) — ортоцентр треугольника \(A_1B_1C_1\). Сделаем гомотетию с центром в точке \(M\) и коэффициентом \(-2\). Тогда эта гомотетия переводит \(A_1\) в \(A\), \(B_1\) в \(B\), \(C_1\) в \(C\). То есть при данной гомотетии треугольник \(A_1B_1C_1\) переходит в треугольник \(ABC\). Тогда \(O\) перейдёт в \(H\), так как они ортоцентры соответствующих треугольников. Значит \(-2\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{MH}\), что и требовалось.