Пусть имеется выпуклый четырёхугольник \(ABCD\); \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) — середины его сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) соответственно. Тогда \(ABCD\) является вписанным в том и только том случае, когда перпендикуляры, опущенные из \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) на противоположные стороны, пересекаются в одной точке. (Теорема Монжа)
Факт 12
Факт 12
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
\(PQRS\) --- параллелограмм. Рассмотрите точку, симметричную центру описанной окружности четырёхугольника \(ABCD\) относительно точки пересечения диагоналей \(PQRS\).
Доказательство
Доказательство
Необходимость
Необходимость
Пусть \(PR \cap SQ = Z\); \(P'\), \(Q'\), \(R'\), \(S'\) --- основания перпендикуляров, опущенных из \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) на стороны \(DC\), \(AD\), \(AB\), \(BC\) соответственно. Положим \(PP' \cap RR' = M\). Сразу отметим, что \(PQRS\) --- параллелограмм, а \(Z\) --- точка пересечения его диагоналей. Заметим, что \(PP' \parallel OR\) и \(RR' \parallel OP\). Следовательно, \(MPOR\) --- параллелограмм. Ясно, что точка \(M\) симметрична точке \(O\) относительно \(Z\). Так как \(Z\) --- середина \(SQ\), а также \(OM\), то \(QOSM\) --- параллелограмм. \(SM \parallel OQ\) и \(SS' \parallel OQ\), следовательно, \(M \in SS'\).
Достаточность
Достаточность