Пусть дан треугольник \(ABC\), \(H\) — его ортоцентр; \(H_a\), \(H_b\) и \(H_c\) — основания высот из точек \(A\), \(B\) и \(C\) соответственно; \(M_a\), \(M_b\) и \(M_c\) — середины отрезков \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно; \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) — середины отрезков \(AH\), \(BH\) и \(CH\) соответственно. Тогда все девять точек \(H_a\), \(H_b\), \(H_c\), \(M_a\), \(M_b\), \(M_c\), \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) лежат на одной окружности \(\xi\), называемой окружностью Эйлера или окружностью девяти точек. При этом \(E\), центр окружности \(\xi\), лежит на прямой Эйлера (см. далее) так, что \(OE = EH\).
Факт 9
Факт 9
Рисунок
Рисунок
Подсказка
Подсказка
Рассмотрите гомотетию с центром \(H\) и коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\).
Доказательство
Доказательство
Пусть \(E\) — середина отрезка \(OH\). Покажем, что это и будет центром искомой окружности. Для этого сделаем гомотетию с центром \(H\) и коэффициентом \(\dfrac{1}{2}\). Тогда \(O\) перейдёт в \(E\), \(A\) в \(A_1\), \(B\) в \(B_1\), \(C\) в \(C_1\). Мы также знаем, что точки, симметричные ортоцентру относительно сторон и середин сторон лежат на описанной окружности треугольника \(ABC\) и при данной гомотетии перейдут в точки \(H_A\), \(H_B\),\(H_C\) и \(M_A\), \(M_B\), \(M_C\) соответственно (см. рис. (одинаковым цветом обозначены равные отрезки)). Таким образом, данная гомотетия переводит окружность \(\Omega\) в некоторую окружность \(\xi\) с центром \(E\), которая содержит все девять точек, указанные в условии. Доказательство закончено.
Примечание
Примечание
Обратите внимание, что мы в ходе наших рассуждений доказали ещё, что радиус окружности \(\xi\) вдвое меньше радиуса \(\Omega\).